La topologie fournit un ensemble de bases mathématiques pour un certain nombre d'activités développées au LMF. Voici une liste des thèmes que recouvre l'activité topologie au LMF.
- Théorie des domaines. C'est l'approche historique à la sémantique des langages de programmation. Cette activité regroupe l'étude de dcpos (directed complete parial orders) ayant de bonnes propriétés mathématiques: QRB-domaines, dcpos quasi-continus, notamment. Ce sont des espaces topologiques particuliers, munis de la topologie dite de Scott. Un accent particulier est porté sur les catégories de dcpos permettant de donner des sémantiques aux langages de programmation probabilistes, ou mêlant choix probabiliste et choix non déterministe. Une nouvelle application est celle des langages probabilistes dits statistiques, comme Church ou Anglican, qui posent des défis particuliers supplémentaires (les "soft constraints").
- Topologie algébrique dirigée. Il s'agit d'une approche à la sémantique des processus concurrents, et spécifiquement "truly concurrent". Elle consiste à adapter les notions de topologie algébrique (homotopie, homologie, catégories de modèles, faisceaux) au cas dit dirigé, c'est-à-dire avec une direction locale d'écoulement du temps qui doit être préservée par déformation. Ces travaux sont en général réalisés en collaboration avec l'équipe Cosynus, à l'Institut Polytechnique de Paris.
- Espaces noethériens, et préspectraux. Les espaces noethériens sont une généralisation naturelle des beaux préordres au cadre topologique. Ceci permet de généraliser les algorithmes de vérification des systèmes de transition bien structurés (WSTS) à de nouveaux cas. L'accent est porté sur la découverte de nouveaux types de données représentables par des espaces noethériens, par la représentation informatique de leurs complétés (sobrifiés). Le défi actuel est sur la représentation de données infinies (streams), qui échappent au cadre des beaux préordres. Généralisant encore, on trouve les espaces préspectraux, introduits par Aliaume Lopez à CSL'21, et qui trouvent une application à l'établissement de nouveaux théorèmes de préservation en théorie des modèles, infinis et surtout finis, et donc en théorie des bases de données relationnelles.
Dans chaque cas, nous visons à établir nos résultats au bon niveau de généralité, et ceci impose souvent de dépasser le cadre informatique. Ceci mène à des publications tant en informatique que dans des journaux de mathématiques, logique ou topologie.